非齐次方程的求解步骤是首先对增广矩阵进行初等变换化成阶梯型矩阵，包括齐次的也是一样，然后在系数矩阵中获得一组基础解析，求非齐次方程的一个特解，为了简便计算需要让所有的自由变量的取值等于0，剩下的按照解的结构写出通解。

例如，线性非齐次线性方程2x1-2x2+x3-x4+x5=1,x1+2x2-x3+x4-2x5=1,4x1-10x2+5x3-5x4+7x5=1，2x1-14x2+7x3-7x4+11x5=-1。首先需要对非齐次进行化简可以化简成E也可以是阶梯型矩阵。化简成E其实是减少计算量的。

对其进行初等变换得到矩阵是第一行为（1,0,0,0，负3分之1，3分之2），第二行的为（0,1，负2分之一，2分之1，负6分之5,6分之1）那么特解直接书写常数项向量的数值并且使得x3,x4,x5为自由变量为0，那么特解为（3分之2，6分之1,0，0,0）

基础解析，设X3,X4,X5是自由变量那么假设分别为1其余的为0进行求解得到基础解析，这里是跟非齐次的特解有区别。得到基础解析为（0,1,2,0,0）,(0,-1,0,1,0),(2,5,0,6),那么方程组的通解是特解加上ka1+k2a2+k3a3其中K为任意的常数。

如果按照阶梯型进行求解，那么初等变换得到的系数矩阵是（1,2，-1,1，-2,1），（0,6，-3,3，-5,1）,（0,0,0,0,0）还是假设x3,x4,x5等于0，那么特解得到化简计算为12,1,0,0,0；然后进行基础解析的计算，仍然是进行赋值。

对于自由变量x3,x4,x5进行赋值，分别为（1,0,0），（0,1,0），（0,0,1)得到基础解析为（01,2,0,0）,(0,-1,0,2,0),(2,5,0,0,1)那么通解就是基础解析的组合。

线性表示主要还是初等变换的计算这是关键点。