双曲线第三定义是平面内的动点到两定点A1(a，0)、A2(-a，0)的斜率乘积等于常数e^2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线.其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点。当常数大于-1小于0时为椭圆;当常数大于0时为双曲线。与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹，这个固定的距离差是a的两倍。

曲线第三定义的性质

平面内动点到两定点A1(a，0)和A2(-a，0)的斜率乘积等于常数e-1的点的轨迹为椭圆或双曲线。其中两定点为椭圆或双曲线的顶点。当0e1时为椭圆，当e1时为双曲线。

圆锥曲线（二次曲线）的（不完整）统一定义是到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离的商是常数e（离心率）的点的轨迹。当e1时，为双曲线的一支，当e=1时，为抛物线，当0e1时，为椭圆，当e=0时，为一点。

当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。当平面与二次锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。