设函数y=f(x) 在区间上可积，对任意x∈，y=f(x)在 上可积，且它的值与x构成一种对应关系（如概述中的图片所示），称Φ(x)为变上限的定积分函数，简称积分上限函数

函数具有连续性：

若函数f(x)在区间上可积，则积分变上限函数在上连续。

并且其对应的导函数存在，所以积分变限函数可以说处处可导。这里导数的意义可以理解为蓝色的面积增量与红色原面积的比。

变限积分函数求导公式：

实质是变上限积分函数：

首先变上限积分函数建立在给定的连续函数f(x)上，那么它在一个区间定积分值仅和积分上限和积分下限有关。如果积分下限a固定了，那么对于每一个x作为函数的积分上限，都有一个对应的积分值，因而这就形成了一个函数关系。我们注意到被积函数的自变量换用了字母t，其实一个函数自变量用什么字母是无所谓的，换用字母是为了防止被积函数的变量和上限混同，t并不是真正的函数变量，只不过是形式上的一个记号。

在这里用几个例题给大家详细理解下：

例1【推广的积分中值定理】

思路：使用积分中值定理证明

若问题中出现定积分的值等于一函数在某点的值的等式，常先用积分中值定理处理，得到函数值相等的两个不同点，为使用罗尔定理创造条件。如果要构建使用罗尔定理的辅助函数，则可选用定积分中的被积函数。

例题：

思路二：用泰勒公式证明

对于包含有二阶及二阶以上导数的问题，使用泰勒公式公式证明。

例4：