订阅数论：欧拉函数的计算与性质（Mathematica）
来源：网络收集 点击： 时间：2024-03-03【导读】：
使用Mathematica计算欧拉函数，验证有关性质，包括素数的欧拉函数值，欧拉函数的积性性质，欧拉函数的一般计算方法。工具/原料moreMathematica方法/步骤1/7分步阅读
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注意事项
性质1：当p为素数时，p^n的欧拉函数值，等于(p-1)p^(n-1)。
下面，我们举例验证。首先使用Prime函数产生10个素数，依次令n等于2,3,4,5,10计算欧拉函数。
2/7产生的10个素数为第一行所示。
下边是对公式的验证，可见数值都是一致的。
3/7下边我们举例简要说明原因。
p^n的质因子只有p。故与p^n不互素的只有p的倍数，即0,p,2p,3p...p^n-p。
4/7这些不互素的一共有p^n/p个。
用完系中所有元素减去不互素的元素，剩下的元素就是缩系的元素。
元素个数为p^n-p^n/p=(p-1)p^(n-1)
5/7性质2：欧拉函数的极性。
如图，计算m*n的欧拉函数值，其中m和n互素。
则EulerPhi=EulerPhi*EulerPhi。
如果m和n不互素则不成立。
6/7然后是一般情况下，欧拉函数的计算流程。其中用到了前两个性质。
把n质因数分解，然后把各个质因子带入最终公式，计算欧拉函数值。
证明过程如图。
7/7如图举了一个实际的例子，计算EulerPhi。
把这个数质因子分解，质因子有2,3,41。
把这三个数带入最终公式，算得240。
注意事项关于欧拉函数的含义以及完系和缩系的定义，请查阅经验引用。
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