向量空间的基变换，指的是，选用一组新的基向量，用这组基向量的线性组合，来重新表述这个向量空间。举个简单的例子：二维空间的一个标准正交基是u={1,0}、v={0,1}，那么，5u+12v就表示向量w={5,12}，如果把向量空间的基选为u={5,0}、v={0,6}，w怎么表示呢？下面，我就用Mathematica来演算一般情形。工具/原料more电脑Mathematica二维空间基变换1/6分步阅读

给出标准正交基：

u={1,0};v={0,1};

那么，向量w={a,b}可以用u和v的线性组合表示出来，简单的解方程组就可以。

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如果选择新的基：

u={p,q};v={r,s};

w怎么表示？

看下图，演算结果隐含了一个条件：ps-qr≠0。

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然而，基变换：{u,v}→{u,v}可以用矩阵乘法来实现。

假设A是这个基变换的变换矩阵，那么：

{u,v}.A={u,v}

反过来，A={u,v}.Inverse

这里把{u,v}和{u,v}当成2*2的矩阵来对待。

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那么，标准正交基下的向量w={a,b}在新基下面的表示，就可以写为：

w.A

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基变换下，两点间的距离是否变化？

给定另一点M，在标准正交基下的坐标为：

M={m,n};

那么，此时，M、W的距离是：

Sqrt

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基变换之后:

W={(b*r-a*s)/(q*r-p*s),(b*p-a*q)/(-(q*r)+p*s)};

M={(n*r-m*s)/(q*r-p*s),(n*p-m*q)/(-(q*r)+p*s)};

奇怪，距离变了吗？

要想解释这个假象，就需要测度论的辅助，这里不予介绍。

三维空间基变换1/2

给出标准正交基：

u={1,0,0};v={0,1,0};w={0,0,1};

新基：

u={a,b,c};v={d,e,f};w={p,q,r};

那么，变换矩阵可以写为：

A={u,v,w}.Inverse

隐含条件是：-cep+bfp+cdq-afq-bdr+aer≠0

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标准正交基下的向量{x,y,z}在新基下的线性表示为：

{x,y,z}.A

注意事项

把基变换用矩阵乘法表示，有助于用计算机进行计算。

计算机学习MATHEMATICA向量空间基变换