A经过一系列初等变换等到B。称A与B等价也就是存在可逆阵PQ使B=PAQ，那么AB秩相等。而AB相似是存在可逆阵P使B=P－1AP，由此证明两个等价的λ矩阵的行列式只差一个非零常数。

行列式：

行列式等于它的各个列对应的向量张成的平行2n面体的体积，这是因为行列式是一个交替多重线性形式。

而我们通常理解的欧式空间中的体积也是这样一个函数，单位立方体体积为1，沿某条边扩大c倍体积就扩大c倍，交换两条边以后体积反号——这一条是补充定义的，我们认为体积是有向体积，其数值表示体积大小。