首先，绘制一个单位圆形和椭圆形。

圆的方程是：x^2+y^2==1;

椭圆的方程是：x^2/2^2+y^2==1。

然后把单位圆形转化为椭圆形。

不知道为什么，用网页版Mathematica导出的动态图就能播放一次呢？比如下面第三幅图。

下面用另一种方法，把单位圆变成椭圆，其实很简单，只要在方程里面填上参数就行。

x^2/a^2+y^2==1

当a从1变为2，就是一个变形过程。而且代码也简单的多：

Manipulate,{a,0,1}]

圆的参数方程是：{Cos,Sin};

椭圆的参数方程是：{2 Cos,Sin}；

试图用参数方程实现图形的转化。

同样是有两种转化方法，第一种方法是：

(1-a)*{Cos,Sin}+a*{2 Cos,Sin}，其中a从0变为1；

第二种方法是：

{a*Cos,Sin}，其中a从1变为2。

这一次，把圆变成正方形，同时要求圆和正方形的面积都是1。

其中，正方形的方程是：

Abs+Abs==1/Sqrt；

圆的方程是：

Abs^2+Abs^2==1/Pi。

不过，转化过程就只能使用第一种方法了，因为我没有求出Abs^a+Abs^a==1的面积公式，所以无法用第二种方法。

这个“化圆为方”是不完美的，中间过程并没有保持图形面积不变，好在首尾的正方形和圆形的面积都是1。

要想获得保持面积始终相等的变形过程，看看大家有没有好的办法？

再来一个三维的例子，把球形变成正八面体。

不过，这一次不去刻意追求面积或体积相等，而是放宽限制，便于用第二种方法进行变形。

正八面体的方程是：

Abs+Abs+Abs==1

于是，Abs^a+Abs^a+Abs^a==1，当a从2变为1，就实现了球到正八面体的转化。

网页版Mathematica执行不了这个互动代码，因为用时间太长？

最后，请大家思考结合问题：

正方形的参数方程是什么？

正方体的隐函数方程和参数方程是什么？

正八面体的参数方程是什么？

上面第四步“化圆为方”的过程中，如果要求变形过程里所有的图形都保持面积不变，能实现吗？

在以后的文章里，会陆续提及共形变换等更高明的几何变换方法。

如果本文对你有所帮助，请把它推荐给你的朋友！