赋范空间完备的充要条件Cantor闭集套定理。

Banach空间的线性子空间在同样的范下也是一个线性赋范空间。取子空间中的一个柯西点列，则由于空间完备必然存在一个极限点在空间中，而子空间是闭的意味着这个极限点就在子空间中，所以子空间也是完备的。

拓扑结构

如果（V，‖·‖）是赋范空间，则‖·‖引入度量（距离的概念），并因此导致V上的拓扑。该度量以自然的方式定义：两个向量之间的距离u v由||u-v||给出。这种拓扑正是最弱的拓扑结构，使得“‖”连续，并且与以下意义上的V的线性结构兼容：

向量加法+：V×V→V相对于该拓扑结合是连续的。这直接来自三角不等式。标量乘法：K×V→V，其中K是V的底层标量场，是联合连续的。这取决于三角不平等和规范的均匀性。