本文，用Mathematica研究一下曲线的参数方程、切向量、切线方程、法平面方程、弧长和自然参数等内容。 不过，这里不作严格的证明，只作最简单的数值检测。工具/原料more电脑Mathematica方法/步骤1/7分步阅读

圆柱螺旋的参数方程是：

r:={Cos,Sin,t/6}

ParametricPlot3D,{t,0,6*Pi}]

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圆柱螺旋是正则曲线，因为r≠0。

r:={Cos,Sin,t/6}

r

r.r//FullSimplify

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求圆柱螺旋r在t=π/3时的切线方程：

r:={Cos,Sin,t/6}

p={x,y,z};

p-r==a r

消去参数a，就得到螺旋线的切线方程：

r:={Cos,Sin,t/6}

p={x,y,z};

Eliminate-a r==0,a]

再用Rule指定t-π/3就行了。

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求r的法平面的方程：

r:={Cos,Sin,t/6}

p={x,y,z};

因为法平面和切向量垂直，所以(p-r).(r)==0

这就是法平面方程。

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求螺旋线在｛t,0,t｝之间的弧长：

r:={Cos,Sin,t/6}

Integrate.r],{t,0,t}]

Mathematica有一个专门求曲线的弧长的函数：

ArcLength,{t,0,t}]

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如果把正则曲线的弧长记为s，有：

s=s

求出s和t的反函数：t=t，就得到了曲线的自然参数方程：

r:=(r)/.t-6*s/Sqrtr//Simplify//TraditionalForm

此时，自然参数方程是：

r:={Cos],Sin],s/Sqrt}

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在自然参数下，r的微商的模长是1。

r:={Cos],Sin],s/Sqrt}

r

r

r.r

r.r//Simplify

注意事项

在常规参数方程转化为自然参数方程时，Mathematica需要先Clear。

MATHEMATICA微分几何