矩形矩阵 A 的奇异值和对应的奇异向量分别为满足以下条件的标量 σ 以及一对向量 u 和 v其中 A H 是 A 的 Hermitian 转置。奇异向量 u 和 v 通常缩放至范数为 1。此外，如果 u 和 v 均为 A 的奇异向量，则 -u 和 -v 也为 A 的奇异向量。工具/原料more电脑matlab方法/步骤1/10分步阅读

奇异值 σ 始终为非负实数，即使 A 为复数也是如此。对于对角矩阵 Σ 的对角线上的奇异值以及构成两个正交矩阵 U 和 V 的列的对应奇异向量，方程为

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由于 U 和 V 均为单位矩阵，因此将第一个方程的右侧乘以 V H 会生成奇异值分解方程

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m×n 矩阵的完整奇异值分解涉及 m×m U、 m×n Σ 以及 n×n V。换句话说，U 和 V 均为方阵，Σ 与 A的大小相同。如果 A 的行数远多于列数 (m n)，则得到的 m×m 矩阵 U 为大型矩阵。但是，U 中的大多数列与 Σ 中的零相乘。在这种情况下，精简分解可通过生成一个 m×n U、一个 n×n Σ 以及相同的 V 来同时节省时间和存储空间：

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特征值分解是分析矩阵（当矩形表示从向量空间到其自身的映射时）的合适工具，就像分析常微分方程一样。但是，奇异值分解是分析从一个向量空间到另一个向量空间（可能具有不同的维度）的映射的合适工具。大多数联立线性方程组都属于这第二类。

如果 A 是方形的对称正定矩阵，则其特征值分解和奇异值分解相同。但是，当 A 偏离对称性和正定性时，这两种分解之间的差异就会增加。特别是，实矩阵的奇异值分解始终为实数，但非对称实矩阵的特征值分解可能为复数。

对于示例矩阵

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完整的奇异值分解为

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可以验证 U*S*V 在舍入误差界限内是否等于 A。对于此类小问题，精简分解只是略小一些。

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同样，U*S*V 在舍入误差界限内等于 A。

如果矩阵 A 很大并且是稀疏矩阵，则使用 svd 来计算所有奇异值和向量在某些情况下可能会不太切合实际。例如，如果您只需了解几个最大的奇异值，则计算一个 5000×5000 稀疏矩阵的所有奇异值会带来大量额外工作。在只需要一部分奇异值和向量的情况下，svds 函数优先于 svd。

对于一个密度约为 30% 的 1000×1000 随机稀疏矩阵，

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最大的六个奇异值为

S = svds(A)

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此外，最小的六个奇异值为

S = svds(A,6,smallest)

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对于可作为满矩阵 full(A) 载入内存的较小矩阵，使用 svd(full(A)) 的速度可能仍旧快于使用 svds。但对于确实很大的稀疏矩阵，就有必要使用 svds。

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