对数均值不等式是什么
来源:网络收集 点击: 时间:2024-05-10如下:
设f(x)=e^(x-1)– x,f’(x)=e^(x-1)-1;f”(x)=e^(x-1)。
f(1)=0,f’(1)=0,f”(x)0,所以f(x)在x=1有绝对的最低值。
f(x)=e^(x-1)-x≥f(1)=0。
所以e^(x-1) ≥ x。
设xi0,i=1,n。算术平均值为a=(x1+x2+x3+…+xn)/n,a0。
x/a ≤ e^(x/a-1)。
(x1/a)*(x2/a)*(x3/a)*…*(xn/a ) ≤ e^(x1/a-1) e^(x2/a-1)e^(x3/a-1)… e^(xn/a-1)。
=e^(x1/a-1+x2/a-1+x3/a-1+…xn/a-1)。
=e^。
=e^=e^0=1。
所以:
(x1/a)*(x2/a)*(x3/a)*…*(xn/a )。
=(x1*x2*x3*…*xn)/a^n ≤ 1。
即(x1*x2*x3*…*xn) ≤ a^n。
(x1*x2*x3*…*xn)^(1/n) ≤ a ,即算术平均数大于等于几何平均数。
相关内容解释
关于均值不等式的证明方法有很多,数学归纳法(第一数学归纳法或反向归纳法)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等,都可以证明均值不等式,在这里简要介绍数学归纳法的证明方法:
(注:在此证明的,是对n维形式的均值不等式的证明方法。)
用数学归纳法证明,需要一个辅助结论。
注:引理的正确性较明显,条件A≥0,B≥0可以弱化为A≥0,A+B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)(或用二项展开公式更为简便)。
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