证明方法：

设﹛xn﹜为有界数列，并设它们全部包含在内。如果它不存在收敛子序列，于是对内的任一点x0,都不可能是﹛xn﹜的某个子序列的极限。

因此恒存在一个邻域O﹙x0,δ﹚除了x0可能与有限个xn相等之外，其内不含其它的xα, 而邻域系﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈构成一个开覆盖。

由有限覆盖定理,能从﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈中选出有限个覆盖，当然也覆盖所有﹛xn﹜.但是有限个这种邻域内至多包含有限个xn，产生矛盾。

因此﹛xn﹜存在收敛子列，致密性定理得证。

有限覆盖定理：

定理:设H为闭区间的一个(无限)开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖。

开覆盖的定义:设S为数轴上的点集，H为开区间的集合，(即H中每一个元素都是形如(a,b)的开区间)。

若S中的任何一点都含在至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或简称H覆盖S。

若H中的开区间的个数是有限(无限)的，那么就称H为S的一个有限(无限)覆盖。

有限覆盖定理是实数定理。确界定理。单调有界数列必收敛。闭区间套定理。聚点定理。凝聚定理的逆否命题。