必要性：

已知f(x)在X上有界，则存在M0，使得任意x∈X，有|f(x)|M

因此-Mf(x)M，则f(x)既有上界又有下界。

充分性：

已知f(x)在X上既有上界又有下界，则存在a,b，且ba，使得f(x)b，且f(x)a

（1）若|b||a|，则b0，且-ba成立，

因此-baf(x)b，得|f(x)|b，因此f(x)有界。

（2）若|a||b|，则a0，因此-a0，得-ab，

因此af(x)b-a，得|f(x)|-a，得f(x)有界。

扩展资料

如果存在数K1，使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有上界。

反之，如果存在数字K2，使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界，而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。

如果存在正数M，使得 |f(x)|≤M 对任意x∈D都成立，则称函数在X上有界。如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界；等价于，无论对于任何正数M，总存在x1属于X，使得|f(x1)|M，那么函数f(x)在X上无界。

此外，函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。