设正态分布概率密度函数是f(x)=*e^，就是均值是u,方差是t^2。

于是：

∫e^dx=(√2π)t.（*）

积分区域是从负无穷到正无穷,下面出现的积分也都是这个区域。

（1）求均值

对（*）式两边对u求导：

∫{e^*dx=0

约去常数,再两边同乘以1/(√2π)t得：

∫*e^*(u-x)dx=0

把(u-x)拆开,再移项：

∫x**e^dx=u*∫*e^dx

也就是

∫x*f(x)dx=u*1=u

这样就正好凑出了均值的定义式,证明了均值就是u.

(2)方差

对(*)式两边对t求导：

∫*e^dx=√2π

移项：

∫**e^dx=t^2

也就是

∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2

正好凑出了方差的定义式,从而结论得证。

扩展资料：

二重积分的现实(物理)含义：面积 × 物理量 = 二重积分值。

举例说明：二重积分的现实(物理)含义：

1、二重积分计算平面面积，即：面积 × 1 = 平面面积。

2、二重积分计算立体体积，即：底面积 × 高 = 立体体积。

3、二重积分计算平面薄皮质量，即：面积 × 面密度 = 平面薄皮质量。

二重积分的定义式：

其中

xxx与yyy叫做积分变量，f(x,y)f(x,y)f(x,y)叫做被积函数，dσdigmadσ叫做面积元素，DDD叫做积分区域。

参考资料来源：百度百科--二重积分