订阅【抽象代数】双二次扩域Q[i,sqrt(2)]的分析
来源：网络收集 点击： 时间：2024-07-11【导读】：
本文，理顺一下双二次扩域Q的一些内容。工具/原料more电脑python方法/步骤1/7分步阅读
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Q是从有理数域Q扩张而来。
这个过程可以分为两步。
2/7Q是Q的二次扩域。
3/7Q是Q的二次扩域。
4/7但是这个二次扩域不是这么来的。
实际上，我们需要证明，x^2-2在Q里面是既约多项式。
这只需要证明它不能分解因式就行了。
证明了x^2-2在Q里面是既约多项式，那么就说明Q是Q的二次扩域，进而说明它是Q的双二次扩域。
5/7上面的Q扩张到Q的顺序是：
Q⊂Q⊂Q
我们还可以把扩张顺序颠倒一下：
Q⊂Q⊂Q
为此，我们要证明，多项式x^2+1=0在Q里面是既约多项式。
6/7Q的自同构群有四个元素，其中：
σ表示复共轭，它保持sqrt(2)的符号不变；
τ把sqrt(2)变为相反数，而保持i的符号不变；
στ是二者的复合，把i和把sqrt(2)都变为相反数。
这个群同构于Klein四元群。
7/7Q的自同构群有三个真子群，分别对应于Q和Q之间的三个中间域。
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