任意m*n矩阵存在可逆m、n的原因：

对A，存在P，Q满足PAQ=Er000。

这是因为任一矩阵可经初等变换化为等价标准形。

而初等变换对应矩阵左乘（行变换）或右乘一个初等矩阵。

所以存在一系列初等矩阵使得P1，PsAQ1，Qt=［Er0；00］。

P，Q分别是P1，Ps与Q1，Qt。

矩阵

是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中，在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。