订阅【抽象代数】商环的理想
来源：网络收集 点击： 时间：2024-07-18【导读】：
设J是环R的理想，R是R关于J的商环。本文，来考察R的理想与R的理想的关系。工具/原料more电脑python方法/步骤1/6分步阅读
2/6
3/6
4/6
5/6
6/6
考虑一个映射π：
R→R
r→r+J
把R的每个元素r，映射到相应的陪集r+J里面。
2/6这个映射一般是不可逆的。
因为R的两个不同的元素，很可能映射到同一个陪集里面。
3/6如果I是R的某个理想，那么，π(I)就是R的理想。
这只需要证明π(I)*R=π(I)，也就是乘法保持封闭。
4/6如果I是R的一个理想，那么，I关于π的原像I就是R的理想。
这一点可以使用反证法证明。
注意，步骤二指出了，映射π一般不可逆，所以，并不能根据I求出I。
5/6如果I、J是R的理想，R=R/J，映射π：
R→R
r→r+J
在这个映射下，I=π(I)就是R的理想。
求证：R/I与R/I同构。
为此，考虑一个映射φ：
R→R/I
r→r+I
6/6π与φ的合成，记为ρ，它把R映射到R/I上：
R→R→R/I
r→r+J→r+J+I
这个映射，把I映射为I。
这就完成了证明R/I与R/I同构。
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