确切说来，函数在某点连续是指：当自变量趋于该点时，函数值的极限与函数在该点所取的值一致。

函数的连续性，描述函数的一种连绵不断变化的状态，即自变量的微小变动只会引起函数值的微小变动的情况。

连续函数的性质：

① 如f(x)、g(x)都在x=α处连续，则f(x)±g(x)，f(x)g(x)， （只要 g( α)≠0)也在 x= α处 连续。

② 如f(x)在x=α处连续，且f(α)≠0，则必在x＝α的某一小δ邻域（即|x-α|＜δ）中，f(x)不变号，即f(x)与f(α)同号。

③ 在闭区间上的连续函数，必有上界和下界，且有最大值和最小值，并能取最小值和最大值之间的一切中间值。

还可证明，所有初等函数在其有定义的区间上都是连续的。

设I为一闭或开的区间，如果任给ε0，必有δ＞0存在，使对I中任何两点x，x′，只要|x-x′|＜δ，便有｜f(x)-f(x′)|＜ε，则称f(x)在I上一致连续。关于一致连续性有下面的重要定理：在闭区间上的连续函数一定在该区间上一致连续。这一定理有时称作康托尔定理