本经验通过函数的定义域、单调性、凸凹性、极限，奇偶性等，用导数工具介绍函数y=4/(x^2+6)的图像的主要步骤。工具/原料more对数函数性质等相关知识函数图像有关知识主要方法与步骤1/9分步阅读

函数的定义域，结合分式函数的性质，分析求解函数y=4/(x^2+6)的定义域。

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y=4/(x^2+6)，分母y1=x^2+6，为二次函数，图像关于y轴对称，开口向上，

当x≥0时，y1函数为增函数，当x＜0时，y1函数为减函数，

再取倒数时，则函数单调性相反，即：

当x≥0时，y函数为减函数，当x＜0时，y函数为增函数。

对x求导得：

y=4/(x^2+6)，

dy/dx=-4*2x/(x^2+6)^2=-8x/(x^2+6)^2,

令dy/dx=0,则x=0，则：

（1）当x≥0时，dy/dx≤0，则此时函数y为减函数，

（2）当x＜0时，dy/dx＞0，则此时函数y为增函数。

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函数的单调性，通过函数的一阶导数，求出函数y=4/(x^2+6)的单调区间。

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函数极值与极限，函数的最大值和无穷端点处的极限。

lim(x→-∞) 4/(x^2+6)=0;

lim(x→0) 4/(x^2+6)=2/3;

lim(x→-∞) 4/(x^2+6)=0。

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函数的凸凹性，通过函数的二阶导数，解析函数y=4/(x^2+6)的凸凹区间。

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dy/dx=-8x/(x^2+6)^2,

d^2y/dx^2=-8/(x^2+6)^4,

d^2y/dx^2=-8/(x^2+6)^3,

d^2y/dx^2=8(3x^2-6)/(x^2+6)^3,

令d^2y/dx^2=0，则3x^2-6=0，即x^2=2,

求出x1=-√2，x2=√2。

（1）当x∈(-∞，-√2),( √2，+∞)时，

d^2y/dx^2＞0，则此时函数y为凹函数，

（2）当∈时，

dy/dx≤0，则此时函数y为增函数。

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根据奇偶性判断原则，判断函数为偶函数。

因为f(x)=4/(x^2+6),

所以f(-x)=4/=4/(x^2+6)=f(x),

即函数为偶函数，函数图像关于y轴对称。

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该偶数分式函数y=4/(x^2+6)部分点解析表如下：

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函数的示意图，综合以上函数定义域、值域、单调性、奇偶性、凸凹性和极限的性质，函数y=4/(x^2+6)的示意图如下：

注意事项

偶函数关于y轴对称

导数是判断函数性质的重要工具

导数函数图像