（一）倍数、约数（二）奇数与偶数（三）质数与合数（四）比和比例（五）商不变的规律（六）三大余数定理（七）流水行船问题（八）火车过桥问题（九）钟表问题（十）还原问题（十一）植树问题（十二）盈亏问题（十三）年龄问题（十四）鸡兔问题（十五）重叠问题（容斥原理）（十六）按比例分配问题（十七）牛吃草问题（十八）可能性方法/步骤

（一）倍数、约数

1.概念：如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。

一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。

一个数倘侨的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。

2.常见的倍数特征

2的率迅屈倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。

3的倍数特征：一个数的个位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。

5的倍数特征：个位上是0或5的数，都能被5整除。

7的倍数特征：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7整除，这个数就能被7整除。

9的倍数特征：一个数个位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。

能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的一定能被3整除。

11的倍数特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，这个数就能被11整除。

13的倍数特征：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除，这个数就能被13整除。

4（或25）的倍数特征：一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。

8（或125）的倍数特征：一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。

（二）奇数与偶数

一个自然数，不是奇数就是偶数。

偶数：能被2整除的数叫做偶数（包括0）

奇数：不能被2整除的数叫做奇数

最小的偶数是：0

最小的奇数是：1

（三）质数与合数

1.概念：一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。

1.不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。

2.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。、

3.最大公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

公约数只有1的两个数，叫做互质数

如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。

如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。

4.最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。

如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最脂牢小公倍数。

几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。

（四）比和比例

1.比：两个数相除又叫做两个数的比。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。

比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数表示。

比的后项不能是零。

根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。

2.比例：表示两个比相等的式子叫做比例，组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。

3.正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。用字母表示y/x=k(一定)

4.反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。

用字母表示y*x=k(一定)

5.比例尺：图上距离：实际距离=比例尺

要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。

线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。

（五）商不变的规律

在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变。

（六）三大余数定理

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

2.余数的减法定理

a与b的差除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之差。

3.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

（七）流水行船问题

顺速=船速+水速

逆速=船速-水速

解题关键：因为顺流速度是船速与水速的和，逆流速度是船速与水速的差，所以流水行船问题当作和差问题解答。解题时要以水流为线索。

解题规律：船行速度=（顺流速度+逆流速度）/2

流水速度=（顺流速度-逆流速度）/2

路程=顺流速度*顺流航行所需时间

路程=逆流速度*逆流航行所需时间

（八）火车过桥问题

①火车与桥：过桥总路程=火车车长+桥长

车速=（火车车长+桥长）/过桥时间

过桥时间=（火车车长+桥长）/车速

桥长=车速*过桥时间-火车车长

②火车与人

相遇：路程和=火车车长

速度和=车速+人速

相遇时间=火车车长/（车速+人速）

追及：路程差=火车车长

速度差=车速-人速

追及时间=火车车长/（车速-人速）

③火车与火车

相遇：路程和=甲车长+乙车长

速度和=甲车速+乙车速

相遇时间=（甲车长+乙车长）/（甲车速+乙车速）

追及：路程差=快车长+慢车长

速度差=快车速-慢车速

追及时间=（快车长+慢车长）/（快车速-慢车速）

（九）钟表问题

常见的钟面问题往往转化为追及问题来解。

整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。

分针速度：每分钟1小格，每分钟走6度

时针速度：每分钟走1/12小格，每分钟走1/2=0.5度

（十）还原问题

还原问题：已知某未知数经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。

解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。

解题规律：从最后结果出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出原数。

解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记写括号。

（十一）植树问题

植树问题：这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵数四种数量关系的应用题，叫做植树问题。

解题关键：解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。

解题规律：沿线段植树：

棵数=段数+1 棵数=总路程/株距+1

株距=总路程/（棵数-1）

总路程=株距*（棵数-1）

沿周长植树：

棵数=总路程/株距

株距=总路程/棵数

总路程=株距*棵数

（十二）盈亏问题

盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的。它的特点是把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次都有余，或两次都不足），已知所余和不足的数量，求物品数量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。

解题关键：盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者每分所得物品数量的差，再求两次分配中各自共分物品的差（也称总额差），用前一个差除后一个差，就得到分配者的数，进而再求得物品数。

解题规律：总差额

每人差额=人数

总差额的求法可以分为以下四种情况：

第一次多余，第二次不足，总差额=多余+不足

第一次正好，第二次多余或不足，总差额=多余或不足

第一次多余，第二次也多余，总差额=大多余-小多余

第一次不足，第二次也不足，总差额=大不足-小不足

（十三）年龄问题

年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种应用题被称为“年龄问题”

解题关键：年龄问题与和差、和倍、差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化，年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的，因此，年龄问题是一种“差不变”的问题，解题时，要善于利用差不变的特点。

（十四）鸡兔问题

鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题。通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题

解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔”），然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数。

解题规律：（总腿数-鸡腿数*总头数）/一只鸡兔腿数的差=兔子只数。

兔子只数=（总腿数-2*总头数）/2

如果假设全是兔子，可以有下面的式子：

鸡的只数=（4*总头数-总腿数）/2

兔的头数=总头数-鸡的只数

（十五）重叠问题（容斥原理）

1.两者的容斥原理：

A∪B=A+B-A∩B(∩表示重合部分)

2.三者的容斥原理：

A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C(∩表示重合部分)

（十六）按比例分配问题

在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。

方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。

（十七）牛吃草问题

解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是：

1.草的生长速度=（对应的牛头数*吃的较多天数-相应的牛头数*吃的较少天数）/（吃的较多天数-吃的较少天数）

2.原有草量=牛头数*吃的天数-草的生长速度*吃的天数

3.吃的天数=原有草量/（牛头数-草的生长速度）

4.牛头数=原有草量/吃的天数+草的生长速度。

（十八）可能性

①区分确定事件、不可能事件、可能性事件

确定事件：发生的可能性为1，就是一定能发生；

不确定事件：发生可能性为0，就是一定不能发生；

可能性事件：发生可能性大于0，且小于1，可能发生、也可能不发生。

②简单可能性事件发生的可能性

③游戏规则的公平性

徐州市数学小升初王强