本文，用Mathematica来挥之给定了参数方程的平面曲线，曲率圆圆心的轨迹。并以此来重温微分几何的一些知识。尤其是，前段时间，有网友提问，怎么求曲线的法向量。本文一起解答。工具/原料more电脑Mathematica方法/步骤1/10分步阅读

假设曲线的参数方程是r，先求出曲线的【单位切向量】：

qie := Evaluate, t]/Sqrt, t].D, t]] // FullSimplify]

对参数方程求导，得到切向量，再归一化处理，才是单位切向量。

2/10

再求曲线的单位法向量：

对【单位切向量】求导，得到法向量；

对法向量进行归一化处理，得到单位法向量。

dr := Evaluate, t]]

fa := Evaluate/Sqrt.dr] // FullSimplify]

注意，一定是对【单位切向量】求导才能得到法向量，而如果直接对r的导数求导，得到的一般不是法向量。

3/10

曲率半径是曲率的倒数：

qulvr := 1/ArcCurvature, t]

曲率中心，就是在法向量的方向上：

qulvzx := Evaluate + qulvr*fa]

4/10

再把曲率圆画出来：

Circle, qulvr /. t - tt]

这里要遵守一个求导原则：先求导，在赋值。

否则机器会报错。

5/10

然后把曲率圆圆心轨迹画出来。

这个轨迹曲线的参数方程，恰恰就是qulvzx。

ParametricPlot, {t, 0, 2 Pi}, PlotStyle - RGBColor]

而原曲线的参数方程是r := (Sin) {Cos, Sin}。

6/10

更换原曲线的参数方程：

r := (Sin) {Cos, Sin}

这是一条三叶玫瑰线。

7/10

三叶玫瑰线的极坐标方程，加上一个正数，会“膨胀”起来：

r := (1/3 *(2 + Sin)) {Cos, Sin}

8/10

当曲率中心完全位于闭曲线内部，且曲线是简单曲线，那么这条曲线一定是凸曲线：

r := (1/21 (20 + Sin)) {Cos, Sin}

9/10

再试试它：

(1/51 (50 + Sin)) {Cos, Sin}

10/10

如果一条平面闭曲线，本身不是简单曲线，就一定不是凸曲线。

(1/2 (1 + Sin)) {Cos, Sin}

注意事项

文首的动态图，里面蓝色曲线的参数方程是{Cos, Sin}。