1、绕x轴旋转体体积公式是V=π∫[a,b]f(x)^2dx。

2、绕y轴旋转体积公式同理，将x，y互换即可，V=π∫[a,b]φ(y)^2dy。

旋转体的体积等于上半部分旋转体体积的2倍

V=2∫（0,R)π［(x+b)^2-(-x+b)^2]dy

=8bπ∫（0,R)xdy

令x=Rcosa,y=Rsina,(a∈［0,π／2])

V=8bπ∫（0,π／2)Rcosa*Rcosada

=4bR^2π∫（0,π／2)(cos2a+1)da

=4bR^2π［a+sin2a/2]|(0,π／2)

=4πbR^2(π／2)

=2bπ＾2R^2

旋转体体积的几何公式：

v=2πG S其中G为旋转平面重心到旋转轴的距离，S为旋转平面的面积，注意旋转面需要全部转换到旋转轴的同一侧。证明方法可以用几何方法，初中知识就可以证明。