订阅【抽象代数】两个环的直积也是一个环吗？
来源：网络收集 点击： 时间：2024-02-28【导读】：
给定任意两个环P和Q，定义这两个环的直积为R：{(a,a)|a∈P,a∈Q}。本文要证明，R是一个环。工具/原料more电脑python方法/步骤1/6分步阅读
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注意事项
环需要两种运算法则。加法的定义是：
2/6先证明加法保持R封闭：
∵a、b∈P，
∴a+b∈P，
同理a+b∈Q，
∴(a+b,a+b)∈R
3/6加法满足交换律：
a+b=b+a
a+b=b+a
4/6R的每个元素都有加法逆
我们用0P表示P的零元素，用0Q表示Q的零元素，那么，(0P,0Q)就是R的零元素。
设a是a在P里面的加法逆，b是b在Q里面的加法逆，那么，(a,b)就是(a,b)在R中的加法逆。
综上所述，R是一个加法的Abel群。
5/6乘法的定义：
6/6证明，乘法满足结合律，还有，乘法与加法的结合满足分配率。
注意事项上面第六步，分配率还有另一半证明没有给出，读者可以自己补全。
综合上面所有步骤，可以证明P和Q的直积确实是一个环，成为P和Q的积环。
在步骤1里面，定义加法的时候，应该把不同的加法视为相应的环里面的加法。
在步骤5里面，定义乘法的时候，应该把不同的乘法视为相应的环里面的乘法。
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