订阅【抽象代数】商环的结构
来源：网络收集 点击： 时间：2024-02-12【导读】：
设I是环R的理想，那么，R关于I的陪集的集合R/I，称为R关于I的商环。本文要证明，这个商环确实是一个环。工具/原料more电脑python方法/步骤1/6分步阅读
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注意事项
给定环R的一个元素a，那么a与理想I的元素相加，得到一个陪集，记为a=a+I。
这个集合里面的元素b的特点是，存在I的某个元素i，使得a=b+i。
2/6两个不同的陪集是互不相交的。
假设a和b是两个不同的陪集，表示对a的元素a和b的元素b，a-b不属于I。
3/6这样，环R被划分为互不相交的一些陪集，把这些陪集的集合记为R/I。
这个集合关于加法封闭。
这是因为如果a和b属于R，那么a+b也属于R。
4/6进一步指出，R/I是一个加法群，也就是说对于任意元素a，存在另一个元素b，使得a+b=0+I。
这是显然的，因为元素a存在加法逆-a，所以，b=-a+I就是a的加法逆元。
5/6R/I的乘法定义为：
a*b=ab+I
注意，a是a的代表元，b是b的代表元，那么ab就是a*b的代表元。
6/6可以证明，R/I的上述乘法满足结合律。
注意事项要想证明R/I是环，还需要指出，R/I关于加法和乘法满足分配率。这一点也是比较容易的。
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