先证明，3在R里面是不可约的元素。

当a、b、c、d都是非零整数的时候，(a^2+5b^2)(c^2+5d^2)≥36。忌诸

几乎同样的理由，可以证明2±sqrt(-5)在R里面都是不可约的。

9在R里面是可约铲欧霜的，而且分解方法还多于一种：

这样，3不是R里面的素元。

基于同样的理由，2±sqrt(-5)在R里面也都不是素元。

考虑9和3(2+sqrt(-5))的公因数。

在相伴元素视为同一种情况的要求下，上面两个数字有两个公因数，分别是：

3和(2+sqrt(-5))；

如果9和3(2+sqrt(-5))的最大公因数是d，会导出矛盾现象，这说明：

.

9和3(2+sqrt(-5))在R里面没有最大公因数。

在R里面，3和2+sqrt(-5)是互素的，但是，由这缝辞两个元素生成的理想不是主理想。