有界函数不一定有极限。有界函数是设f(x)是区间E上的函数，若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使得m≤f(x)≤M，则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界，M称为f(x)在区间E上的上界。

有界函数并不一定是连续的。根据定义，在D上有上（下）界，则意味着值域（D)是一个有上（下）界的数集。根据确界原理，在定义域上有上（下）确界。

一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。由(x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。当x越来越接近－1或1时，函数的值就变得越来越大。

函数的性质：

1、单调性

闭区间上的单调函数必有界。其逆命题不成立。

2、连续性

闭区间上的连续函数必有界。其逆命题不成立。

3、可积性

闭区间上的可积函数必有界。其逆命题不成立。

以上内容参考百度百科—有界函数