a是代数整数环的单位，当且仅当1/a和a都是这个环里面的元素。

a是二次域里面的代数整数，当且仅当a是首一整系数二次多项式的根。

1/a也是二次域里面的代数整数，当且仅当1/a是首一整系数二次多项式的根。

上式两边同乘以a^2，得到：

1+ma+na^2=0

这说明，n只能等于±1。

如果n等于-1，那么相应的二次多项式将全都是实数根。

而且当m不等于0的话，sqrt(m^2+4)必定是实无理数，这样，与a是Z里面的代数整数矛盾。

当n=-1，m=0，多项式变为：x^2-1。此式有两个根x=±1，它们是Z里面的元素，所以这两个元素是Z的单位。

除此以外，还有别的单位吗？

要寻找别的单位，只能考虑n=1的情形。

如果Δ=m^2-40，m的取值只能是0、±1，相应的根分别是：

当m=0，x=±i不属于Z；

当m=1，x=(-1±sqrt(-3))/2不属于Z；

当m=-1，x=(1±sqrt(-3))/2不属于Z。

如果Δ=m^2-40，那么Δ必须是平方数：

m是偶数的话，设m=2r，Δ=4(r^2-1)不可能是平方数；

m是奇数的话，设m^2-4=p^2，(m+p)(m-p)=4，所以m+p=4，m-p=1，解得m=3/2，与m是整数矛盾。

综上所述，Z的单位只能是±1。