勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

定理用途：已知直角三角形两边求解第三边，或者已知三角形的三边长度，证明该三角形为直角三角形或用来证明该三角形内两边垂直。利用勾股定理求线段长度这是勾股定理的最基本运用。

勾股定理的意义

勾股定理是欧氏几何中平面单形——三角形边角关系的重要表现形式，虽然是在直角三角形的情形，但基本不失一般性，因此，欧几里得在《原本》中的第一卷，就以勾股定理为核心展开，一方面奠定欧氏公理体系的架构，另一方面紧紧围绕勾股定理的证明，揭示了面积的自然基础。

第一卷共48个命题，以勾股定理（第47个命题）及其逆定理（第48个命题）结束，并在后续第二卷中，自然将勾股定理推广大任意三角形的情形，给出了余弦定理的完整形式。

勾股定理是人们认识宇宙中形的规律的自然起点，无论在东西方文明起源过程中，都有着很多动人的故事。中国古代数学著作《九章算术》的第九章即为勾股术。

并且整体上呈现出明确的算法和应用性特点，这与欧几里得《原本》第一章的毕达哥拉斯定理（勾股弦定理）及其显现出来的推理和纯理性特点恰好形成煜煜生辉的两极，令人感慨。