复变函数f(z)可导的充要条件是：函数f(z)的偏导数ux,uy,vx,vy存在，且连续并满足柯西—黎曼方程（即u‘x=vy;uy=-vx）。

z=x-y^2i，u=x;v=-y^2，ux=1 vy=-2y uy=0 vx=0，ux;vy,uy,vx存在且连续，ux≠vy所以该函数不可导，如果证明在某点处可导，就要用定义证明，即lim(f(z+a)-f(z))/a，a-0。

复变函数是指以复数作为自变量和因变量的函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。

相关信息

复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的，比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候。

就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。