二阶域里面只有两个元素，0和1。你要想扩展这个域，必须添加里面没有的元素。

你可能会添加一个数字2，但是请注意，在二阶域里面，2=0。二阶域是正整数环塌缩而来的。

你务必添加一个mod2不等于0或1的数字。

大家思考一下，下面四个元素能不能构成一个四阶域？

如果往二阶域里面添加2的三次根，情况比较复杂。

下面四个元素不是一个完整的域，因为在四则运算下，不能保持封闭。

从已有的元素进行四则运算，直到元素不再增加为止。

这样，可以求出扩展域的所有元素。

设a=2^(1/3)，那么，1+a是一个四阶元素。

a本身是几阶元素？

我们发现，在二阶域里面，a的任意正整数次幂，都不会等于1，因此a是零阶元素。这说明这个元素不能用来扩展二阶域。

换一个数，a=3^(1/3)。

这样，a是一个3阶元素。

这样，a的乘法逆就是a^2。

我们再看看b=1+a的乘法逆是否存在。下图中发现，b^4=b，但是，b≠0且b≠1。这是一种矛盾的现象。为什么会如此？

原来，多项式x^3-3在二次域里面不是既约多项式。

二阶域唯一的二次既约多项式是：

x^2+x+1

它的根是扩展二阶域为四阶域的唯一出路。假设它的两个根分别是a和b，那么：

ab=1

a+b=-1=1

因为ab=1，所以，a的倒数，或者说a的乘法逆就是b；

因为a+b=1，所以，b=1-a=1+a。

四阶域有四个元素，分别是：0、1、a、b。

四阶域还可以视为二阶域的二维向量空间。

这两种写法之间存在一个同构关系：

f((m,n))=m*1+n*a

其中，m和n是二阶域的元素，而1和a则视为基。

在扩展某个域的时候，务必选择既约多项式的根，否则将难以奏效。