单位圆盘上有界解析函数空间是完备的距离空间，证明：有界函数空间设为X，依度量d（f，g）=sup|f-g|是完备的。

（fn）为X中的Cauchy序列，证明d（fn，f）-0属于X之中，成立完备性就得了n，mNsup|fn-fm|s，对每个固定的x，必有|fn-fm|s。

函数空间如果是实的，一般性讲，根据R的完备性，fn-f， |fn-f|=s（取了极限加个等号），nN，因为s不依赖于变量x，sup|fn-f|=s，d（fn，f）-0，最后还得证明f是有界的。

解析函数

是一类比较特殊的复变函数。200多年来，其核心定理“柯西-黎曼”方程组一直被数学界公认是不能分开的。王见定发现，尽管解析函数已形成比较完善的理论并得到多方面的应用，但自然界能够满足“柯西-黎曼”方程组条件的现象很少，使解析函数的应用受到较大的限制。